Matematica...geometria: differenza tra esercizi e problemi

Non riflettiamo mai abbastanza sulla differenza che esiste tra la risoluzione di un problema o di un esercizio in matematica o in geometria. Infatti sarebbe bene porsi almeno due domande:
1. Occorrono le stesse conoscenze per entrambi?
2. Ci si riferisce al processo o al prodotto?
Se abbiamo in mente l'alunno con discalculia dovremo sicuramente tener conto:
a. di partire da quanto l'alunno già possiede (conoscenze e procedure);
b. di aiutare l'alunno ad automatizzare i processi e i contenuti attraverso nuovi modelli di azione;
c. di rinforzare tali nuovi modelli fino alla consapevolezza del loro significato;
d. di condurre l'alunno verso sistemi di logica più complessa.

Nel libro The Art and Craft of Problem Solving, Paul Zeitz (2007) dell'Università di San Francisco pone una distinzione tra lo svolgimento di un esercizio e la risoluzione di un problema.
Per Zeitz, un esercizio è qualcosa che si sa esattamente come risolvere: se dato come compito a scuola o a casa, richiederà con tutta probabilità di usare gli argomenti appena svolti a lezione. Attenzione: non è detto però che si riesca a risolvere un esercizio, perché magari si sbagliano i conti oppure non ci si ricorda in tutti i suoi particolari il concetto che si sa dovere usare.
Ad esempio, sappiamo che per trovare il perimetro di un quadrato dobbiamo sommare il valore di ogni lato. Potrebbe succedere che se confondo i segni + e - oppure se riporto scritto un numero diverso dal valore dato, 6 al posto di 5, il risultato non corrisponderà. Sarà però importante osservare la procedura e questa osservazione è molto importante quando siamo in presenza di un alunno con discalculia. Nella valutazione bisognerà tenerne conto!!!
Il caso più problematico potrebbe presentarsi nello svolgimento di una espressione algebrica.
Il risultato è che la matematica risulterà estremamente noiosa e odiosa.
Al contrario, un problema può risultare più divertente perché richiede molto pensiero e intraprendenza prima che sia trovato il giusto approccio risolutivo.
Per comprendere che cos'è un problema, riporto un esempio tratto da Zeitz:
Un impiegato del censimento bussa a una porta, e  alla donna che gli apre le chiede quanti figli ha e quanti anni hanno. Lei risponde: "Ho tre figlie, le loro età sono dei numeri interi e il prodotto di queste età è 36 ".
"Questo non è sufficiente", risponde l'impiegato del censimento.
"Potrei dirle la somma delle loro età, ma rimarrebbe comunque perplesso".
«Vorrei che mi dicesse qualcosa di più."
"Va bene, allora la mia figlia maggiore Annie ama i cani".
Quali sono le età delle tre figlie?

Sicuramente il problema contiene al suo interno degli esercizi. Per la soluzione sono necessari 5 passi:
1. La comprensione delle informazioni presenti nel problema stesso e delle loro relazioni;
2. La rappresentazione delle informazioni mediante uno schema in grado di strutturarle;
3. La categorizzazione del problema attraverso l'individuazione delle operazioni necessarie alla sua risoluzione;
4. La pianificazione delle procedure;
5. Il monitoraggio e la valutazione.

Immagino abbiate provato a risolvere il problema dell'impiegato del censimento. Agli alunni possiamo proporne anche di più semplici (!) quale: la base di un rettangolo misura 3 volte l'altezza di cm.12. Quanto è il perimetro?

La soluzione del problema delle età delle figlie:
Il prodotto delle età è 36, quindi ci possono essere solo alcune possibili triple di età. Nella tabella sono riportate tutte le possibilità, con le somme delle età sotto ogni tripla.

Ora vediamo come procedere. Nella seconda risposta la madre dice che potrebbe dire la somma delle età delle sue figlie, ma che questa risposta potrebbe dare adito a perplessità. Ci fornisce comunque informazioni preziose. Ci dice che le età sono o (1, 6, 6) o (2, 2, 9), perché in tutti gli altri casi, la conoscenza somma ci direbbe senza ambiguità la loro età! L'indizio finale ha ora un senso in quanto
ci dice che c'è una figlia maggiore, eliminando il triplo (1, 6, 6). Le figlie hanno quindi 2, 2 e 9 anni.
Come afferma Zeizt, la soluzione di un problema, è simile alla scalata di una montagna. E per gli scalatori meno esperti, il compito può sembrare scoraggiante. la cosa più importante è l'impegno, ma non guasta anche una dose di fortuna per il raggiungimento della vetta. Sono sicuramente necessari diversi tentativi!!! Allo stesso modo, si potrà risolvere un problema di matematica . È necessario spendere le giuste energie per individuare le strategie appropriate che spesso possono essere anche non matematiche.
Di fronte ad un nuovo e apparentemente difficile problema, spesso non si sa da dove cominciare. Le strategie psicologiche ci possono aiutare a sviluppare il giusto stato d'animo. Infatti, una volta che si è iniziato a lavorare, comincia a svilupparsi un quadro strategico globale che ci permette di continuare e completare la nostra soluzione.